Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 + 0 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some $- 8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Some $- 8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((7 - λ) (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Expanda $(7 - λ) (1 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 \cdot 1 + 7 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 \cdot 1 + 7 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 + 7 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ + λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.2

Subtraia $λ$ de $- 7 λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.3

Multiplique $- (- 8 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.3.1

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} - - 8) + 0$

Etapa 5.4.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} + 8) + 0$

Etapa 5.4.2.2

Some $7$ e $8$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

Etapa 5.4.2.3

Reordene $- 8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$

Etapa 5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Combine os termos opostos em $0 + (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Some $0$ e $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$

Etapa 5.5.1.2

Some $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$

Etapa 5.5.2

Expanda $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 8 λ) + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 8 λ) + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.2

Multiplique $- 8 λ$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.3

Multiplique $15$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.4

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.4.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.4.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.4.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.4.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.6

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.6.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.6.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.8

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} + 8 λ^{2} - 15 λ$

Etapa 5.5.4

Some $λ^{2}$ e $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 15 λ$

Etapa 5.5.5

Subtraia $15 λ$ de $- 8 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 23 λ + 15 - λ^{3}$

Etapa 5.5.6

Mova $15$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 23 λ - λ^{3} + 15$

Etapa 5.5.7

Mova $- 23 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} - 23 λ + 15$

Etapa 5.5.8

Reordene $9 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Etapa 7.1.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

Etapa 7.1.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

Etapa 7.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

Etapa 7.1.1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 - 23 \cdot 1 + 15$

Etapa 7.1.1.3.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 1 + 9 - 23 \cdot 1 + 15$

Etapa 7.1.1.3.6

Some $- 1$ e $9$ .

$8 - 23 \cdot 1 + 15$

Etapa 7.1.1.3.7

Multiplique $- 23$ por $1$ .

$8 - 23 + 15$

Etapa 7.1.1.3.8

Subtraia $23$ de $8$ .

$- 15 + 15$

Etapa 7.1.1.3.9

Some $- 15$ e $15$ .

$0$

Etapa 7.1.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15}{λ - 1}$

Etapa 7.1.1.5

Divida $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ por $λ - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$23 λ$

$15$

Etapa 7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Etapa 7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- λ^{3} + λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Etapa 7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$

Etapa 7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$

Etapa 7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$

Etapa 7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$8 λ$

Etapa 7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 λ^{2} - 8 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$

Etapa 7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$

Etapa 7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$

Etapa 7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 15 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$

Etapa 7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							-	$15 λ$	+	$15$

Etapa 7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 15 λ + 15$ .

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							+	$15 λ$	-	$15$

Etapa 7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							+	$15 λ$	-	$15$
										$0$

Etapa 7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- λ^{2} + 8 λ - 15$

Etapa 7.1.1.6

Escreva $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ como um conjunto de fatores.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 8 λ - 15) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 15 = 15$ e cuja soma é $b = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1.1

Fatore $8$ de $8 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 8 (λ) - 15) = 0$

Etapa 7.1.2.1.1.2

Reescreva $8$ como $3$ mais $5$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (3 + 5) λ - 15) = 0$

Etapa 7.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 3 λ + 5 λ - 15) = 0$

Etapa 7.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 3 λ) + 5 λ - 15) = 0$

Etapa 7.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(λ - 1) (λ (- λ + 3) - 5 (- λ + 3)) = 0$

Etapa 7.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- λ + 3$ .

$(λ - 1) ((- λ + 3) (λ - 5)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(λ - 1) (- λ + 3) (λ - 5) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 3 = 0$

$λ - 5 = 0$

Etapa 7.3

Defina $λ - 1$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Defina $λ - 1$ como igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$λ = 1$

Etapa 7.4

Defina $- λ + 3$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $- λ + 3$ como igual a $0$ .

$- λ + 3 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $- λ + 3 = 0$ para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- λ = - 3$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $- λ = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $- λ = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 7.4.2.2.2.2

Divida $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 7.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$λ = 3$

Etapa 7.5

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$λ = 5$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(λ - 1) (- λ + 3) (λ - 5) = 0$ verdadeiro.

$λ = 1, 3, 5$